Harmooniliste ostsillaatorite fraktaalne struktuur muusikas: aastavahetuse kontsert: JS.Bach. Brandenburgi kontserdid.
- 2011
Erinevate muusikateoste ülesehituse analüüs on näidanud, et eri heliloojate eri aegadel tehtud nootide valikul on ühiseid elemente. See on üks Brandenburgi Bachi kontserte, Babbidi keelpillikvartett nr 3, Scott Joplini klaveriteosed. Kõigil neil teostel on sama kuju, kui struktuuri arvestada sageduste osas. Me selgitame seda allpool.
Erinevate muusikaliste teoste auditoorses analüüsis on uuritud summa, mis on muusika helivõimsus. See kogus on sisuliselt energia, mis kiirgab helilainete kujul iga sekund muusikateose esitamisel. Analüüsides, kuidas see kogus struktureeritakse sageduse osas, saadakse selle spektriks nimetatav väärtus.
Kuidas sõltuvad erinevate muusikateoste spektrid sagedusest?
Erinevatest muusikateostest tehtud analüüsid on näidanud, et nende spektrid sõltuvad sagedusest, mida me kutsume tähega f, näiteks (1 / f). Kui mäletame eelmises peatükis analüüsitud, näeme, et see spekter on võimsusseadus, mis matemaatilises keeles sõltub sagedusest, mis on vastupidine f-i esimesele võimsusele (kuna f-i eksponent (1) / f) on 1). Seetõttu, nagu juba kirjeldatud, on see spekter ise sarnane ja sisaldab järelikult fraktaalset struktuuri.
Eelmises lõigus mainitud tüüpi spektrit nimetatakse roosaks spektriks.
Miks valisid Bach ja paljud teised heliloojad roosa spektri? Reaalsus on see, et ükski muusik pole neist ideedest kunagi kuulnud, vähem valis need tahtlikult. Juhtunu mõistmiseks selgitame, kuidas muusikat tehtaks teist tüüpi spektriga.
Üks viis oleks järgmine: iga kirjutatud noot on selline, et selle asukoht ja kestus ei sõltu üldse eelmistest nootidest ega nende kestusest. Sel juhul öeldakse, et kompositsioon on täiesti juhuslik või stohhastiline. Seda tüüpi muusika näide on esitatud joonisel 33 (a). Seda tüüpi muusika helivõimsuse spekter on iga sageduse väärtuse puhul sama, mis tähendab, et võimsuse väärtus on sama mis tahes sageduse väärtuse korral, see tähendab, et see on kogus pidev. Matemaatiliselt sõltub spekter sagedusest (1 / f0), kuna f0 = 1. Seda tüüpi spektrit nimetatakse valgeks. Kui seda tüüpi muusikat mängitaks instrumendil, kuuleksime seda ilma struktuurita; See jätaks ka mulje, et ühest nootist teise on alati üllatus.
Teist tüüpi spekter, mis läheb teise otsa, on see, mis sõltub sagedusest (1 / f²) ja mida nimetatakse pruuniks või pruuniks, nimetus, mis anti, kuna see on seotud IV peatükis käsitletud Browni liikumisega. Joonis 33 (b) näitab muusikat, millel on pruun spekter. Muusikas sõltub iga noot ja selle kestus olulisel määral eelmistest nootidest. Seetõttu on tunne, et teil on seda kuulates, et pärast mõne noodi esitamist on järgmine ennustatav.
Joonisel: (a) näide valgest muusikast. b) Näide pruunist muusikast. c) Roosa muusika näide.
Muusika, millel on roosa spekter, see tähendab (1 / f), on nii juhusliku muusika (valge spekter) ja deterministliku muusika (pruun spekter) hulgas. Sel juhul pole noodid ja nende kestus väga ennustatavad ega üllatavad. Seda tüüpi muusika näide on esitatud joonisel 33 (c).
Tulles tagasi eelpool esitatud küsimuse juurde: miks kasutasid heliloojad oma muusika komponeerimisel tõhusalt roosasid spektrit, see tähendab võimuseadust (1 / f)?, Võib öelda, et heliloojad on proovinud ja kindlasti paljud neist Neil õnnestus komponeerida huvitavat muusikat. Küsimus tuleks tõstatada järgmiselt: miks on huvitaval muusikal roosa spekter? Vastus võiks olla, et seda tüüpi spektriga muusika ei osutu ei ole väga etteaimatav (pruun spekter) ega väga üllatav (valge spekter). Hollandi teadlane Balthazaar van de Pol ütles kunagi, et Bachi muusika on suurepärane, kuna see on paratamatu ja samal ajal üllatav, mis tähendab, et selle spekter on roosa.
Kuna roosa spektriga muusika on ise sarnane, on see erineva sagedusastmega sarnase ülesehitusega. See, mis juhtub sagedusskaalal, peab toimuma ka mis tahes muus sagedusskaalas. Kui selline kompositsioon oleks salvestatud magnetlindile kindla kiirusega ja mängitud erineva kiirusega, oleks kuuldav sarnane salvestatuga. See on vastuolus inimhäälega toimuvaga, sest kui salvestist mängitakse kiirusega, näiteks kaks korda, mida peaks tegema, kõlab see väga valju häälega. Üks võimalus enese sarnasuse näitamiseks on elektroonilise seadme abil, mis genereerib soovitud sageduste helisid. Kui saadakse heli, mis koosneb kahest noodist, kusjuures iga noot on eelmise oktaav (kahekordne sagedus) ja algab noodiga 10 Hz (Hz), (1 Hz = 1 Hz = 1 / s), Järgmised 11 nooti on sagedusega:
20 = 2 x 10, 40 = 4 x 10, 80 = 8 x 10, 160 = 16 x 10,
320 = 32 x 10, 640 = 64 x 10, 1280 = 128 x 10,
2560 = 256 x 10, 5120 = 512 x 10, 10 240 = 1024 x 10 ja
20 480 = 2 048 x 10, kõik Hz ühikutes.
Muudame nüüd neid noote teiste jaoks, mis on pooltoonilt kõrgematel sagedustel (vastab klaveri kahe järjestikuse noodi erinevusele); pooltoonide sagedus saadakse eelmisest noodist, korrutatuna 1, 05946. Nüüd mängitakse heli, mis on järgmiste sageduste superpositsioon:
10 x 1, 0594 = 10, 6, 20 x 1, 05946 = 21, 2,
40 x 1, 05946 = 42, 38, 80 x 1, 05946 = 84, 76,
160 x 1, 05946 = 169, 51, 320 x 1, 05946 = 339, 03,
640 x 1, 05946 = 678, 06, 1 280 x 1, 05946 = 1356, 11,
2560x 1, 05946 = 2712, 22, 5120 x 1, 05946 = 5424, 44,
10240 x 1, 05946 = 10848, 88 ja 20480 x 1, 05946 = 21697, 74 Hz
Seda heli kuuleb valjemini kui eelmine.
Kui iga noodi sagedust suurendatakse jälle ühe pooltooniga, tekitab uute helide superpositsioon suurema helikõrguse. Kui iga helikomponendi suurendamist ühe pooltooniga korratakse 12 korda, selgub, et toodetav heli on algsest eristamatu! See on muusikaline eneses sarnasuse demonstratsioon.
Lisaks, kui võtta võrdlusena mitte-kuuldavad aja / spektri diagrammid, saame nüanssides> 20 Hz ja suuremad kui 28 000 Hz, siis saame harmoonilise logaritmi, mida väljendatakse ühe- ja kahekordsete sündmuste jadana vaikides:
Harmooniliste ostsillaatorite võti peitub helisignaalide või sagedusahelate järjestuses.
Ülaltoodud kontseptsioonide kombinatsioon annab selle imestuse, mida pakume uue aasta 2011 vastuvõtmiseks:
